por Diego Vidal-Cruzprieto
@vidaleando
Los físicos son un montón de fritos y raros a quienes es importante mantener.
Jesús Castrejón.
En la entrega anterior de la #FísicaMaciza traté de explicar por qué y cómo cuantizar el espacio-tiempo, también mencioné que Connes hizo una teoría muy bella pero muy complicada en la práctica y que es por eso que decidimos tomar algunas ideas y hacer la nuestra. Así que ahora sí, se las dejo caer con detalle.
¿De qué va la teoría?
Buscar una generalización cuántica de las ecuaciones de Einstein, para eso también debemos generalizar todo su marco de trabajo conceptual. Dicho en otras palabras debemos encontrar el análogo cuántico a conceptos geométricos como distancia y curvatura.
¿Por qué generalizar a Einstein?
Porque sabemos que el mundo clásico es descrito muy bien por la teoría de Einstein, así que si nuestra teoría tiene como un límite la de Einstein, sabemos que vamos por buen camino.
¿Y cómo lo generalizas?
He ahí donde empieza el pedo. Hay muchas direcciones posibles, pero como dicen en la misa: si vas a volar el papalote, recuerda jalarle bien. Tomamos la idea de Connes (y otros) de hacer una descripción algebraica de la geometría, esto resulta útil ya que el idioma natural de la mecánica cuántica es el álgebra.
Aquí me parece importante aclarar que cuando digo álgebra no me estoy refiriendo a la que está en ese libro con el árabe que los aterrorizó por años:
Me estoy refiriendo a un área de las matemáticas que sigue en constante desarrollo, como la reforma agraria. Podemos codificar mucha información en un álgebra, por ejemplo, las computadoras hacen uso del álgebra booleana, la cual tiene dos elementos: verdadero y falso. Haciendo uso de compuertas lógicas, se pueden codificar algoritmos en este bello sistemita y es así que acaban viendo porno en el baño del Burger King mientras lloran.
Podemos codificar sentencias lógicas en un álgebra, esto es análogo a codificar entidades geométricas en otro tipo de álgebra. Nosotros lo hicimos en una que le turbo mama a los físicos: un álgebra de Lie. Les turbo mama porque en mecánica cuántica todos los sistemas físicos se pueden codificar en distintos tipos de álgebras de Lie, en teoría cuántica de campos los grupos de simetría de las teorías están dados en términos de álgebras de Lie, lo cual incide en cuántas y que tipo de partículas vemos.
Por el momento no sabemos si realmente sean el tipo de álgebras correctas para usar, pero hay cierta evidencia que indica que vamos por buen camino. Ahora bien, la geometría usual puede codificarse en un álgebra de funciones, la cual es conmutativa; el álgebra de Lie es no-conmutativa, por lo cual su geometría asociada se le dice no-conmutativa.
En un álgebra siempre hay elementos y una operación. Digamos que (^) denota la operación, mientras que a y b son dos elementos. En un álgebra conmutativa a^b es lo mismo que b^a, los números (esos que son rojos en tu cuenta bancaria) bajo suma o multiplicación son un álgebra conmutativa, por ejemplo. En un álgebra no-conmutativa, a^b no es lo mismo que b^a. Las consecuencias geométricas de esto son las siguientes: en el caso conmutativo, recorrer el rectángulo del punto I al punto II puede hacerse tanto por la ruta alfa como por la beta teniendo el mismo resultado. En el caso no-conmutativo no sucede esto, hay una ligera diferencia que nosotros representamos como una brecha.
Esta brecha nos indica que hay que desprendernos de la noción de punto, ¿por qué? Por lo siguiente: tomar la ruta alfa me dice que acabo en el punto II versión alfa, mientras que si tomo la beta, acabo en el II versión beta. Calen el dibujito, apúntenle bien; podría haber trazado una tercera ruta y acabar en otro lado, haciendo que el punto II no tenga sentido. Esto también se puede pensar para el punto I, y para todos los puntos intermedios; así que: a la chingada los puntos.
Esto nos lleva a hacer geometría sin puntos, lo cual a muchos les parece muy grave pero a mi no tanto. A mi modo de ver las cosas, la geometría se puede entender como flujo de información a lo largo de un conjunto. Por ejemplo, tomen una naranja y póngale pelos. Los pelos se los deben imaginar no como la tarántula que traen abajo del cinturón sino como pelos tangentes, así:
Un repasito de geometría
La geometría debe de ser una descripción de la naranja como un espacio. Si ya tenemos la noción de distancia, nos gustaría medir proporciones en la naranja, es decir, definir una trigonometría; es por ello que necesitamos los pelos, pero déjenme hacer un pequeño paréntesis. Para hacer trigonometría bien debemos saber la curvatura de la cosa que estamos estudiando, ya que varias nociones de geometría plana no se trasladan del todo.
¿Recuerdan la primaria? Ese bello lugar donde se comportaban estúpidamente sin aún haberse drogado siquiera. A los maestros les mamaba repetir el mantra: la suma interna de los ángulos un triángulo es de 180°, el pedo es que como buenos priístas, olvidaban mencionar que esto sólo era en geometría plana. Tomen su naranja, dibujen el ecuador, luego tracen una línea del polo al ecuador y asegúrense que corte a 90°. Giren un poquito la naranja y vuelvan a hacer esto. Ahora tienen un triángulo de más de 180°, esto sucede porque en espacios curvos no se cumple la propiedad anterior, la suma también es un invariante pero ahora no es 180°.
Y es por eso que nos importa un chingo la curvatura, lo cual nos regresa a los pelos. Si de un pelo al que sigue no vemos cambio alguno y esto sucede para una sucesión de ellos, podemos afirmar que el espacio es plano en la dirección que nos estamos moviendo. Si los pelos difieren entre sí, que tanto lo hacen da una noción de curvatura, aunque para la buena necesitamos poner a pasear un pelo en un circuito, pero no entraré en ello.
Teniendo curvatura y distancia podemos hacer una descripción casi entera de la geometría de cualquier chingadera que nos venga en gana. Pero lo elemental para la curvatura fueron los pelos, así que reformularé la geometría desde ahí. Nos importa que el pelo siempre sea tangente, por lo cual si lo trasladamos a otro sitio en la naranja debemos asegurarnos que siga siendo tangente.
El ejemplo de la izquierda es el verga, pues siempre es tangente y mantiene la orientación del movimiento; el segundo es turbo priísta, a tal grado que en cierto punto es perpendicular, lo cual es lo opuesto a tangente. El mecanismo que asegura que el traslado de pelos sea consistente y seguro se llama anticonceptivo, pero en el contexto matemático se llama la conexión.
Es por eso que se puede reformular toda la geometría sólo con distancia y pelos estudiando sus flujos en el espacio. Para estudiar flujos hay que hacer uso del cálculo y de hecho, tuvimos que reformular éste también en algo que se llama cálculo diferencial universal.
Pero esa la dejamos para la siguiente entrega.