#FísicaMaciza 11. Pi: El hijo de Naamah

por Diego Vidal- Cruzprieto
@vidaleando

A nadie le importa un carajo la ciencia o sus aplicaciones hasta que le detectan cáncer.

En el marco de la celebración del Día Internacional de Pi (14 de marzo), la cual debatiblemente es una de las fechas más geeks de la humanidad, compitiendo con el día de Star Wars (4 de mayo), el día del Hobbit (22 de septiembre), la caída de Sauron (25 de marzo), el día de Star Trek (8 de septiembre), etcétera, esta entrega va con dedicatoria a mis queridos Bárbara Pérez Curiel y John Parker, con quienes resolví este problema hace 8 años.

¿Por qué el 14 de marzo?

Resulta que, escrito en la notación mes/día, da 3/14, lo cual implica que en 2015 tuvimos el día de Pi más acertado de la historia; si no recuerdan Pi, acá van unos cuantos dígitos

pi

Si quieren más dígitos, ojetes, pues agarren un agujeta, tómenle el diámetro a cualquier círculo y vean cuantas veces cabe en su circunferencia, eso les dará Pi. Igual si andan de ociosos y traen varo, pueden sacarle el espectro de energía a un átomo de hidrógeno y medirlo. Es más, si resuelven las ecuaciones de campo de Einstein y se saben la distribución de materia que actúa como fuente del espacio-tiempo, pueden calcular el mentado numerito.

….O se pueden poner a aventar popotes. ¿Popotes? Sí, o agujas, ya que desde 2016 es imposible pensar en popotes y no excluir la siguiente imagen

juanga

Es más, para que al rato no se anden arponeando, piensen en cerillos mejor. Resulta que en el s. XVIII, la época de las preguntas de mingitorio, el Conde de Buffon se preguntó lo siguiente:

Si tengo una hoja de papel con líneas paralelas y tiro un cerillo cuyo tamaño sea menor que la distancia entre ellas, ¿cuál es la probabilidad de que toque alguna línea?

Resulta que responder a esto, nos da un método (bastante lento, pero a final de cuentas uno) para calcular Pi.

Ya traigo los cerillos, ¿qué hago?

Primero que nada, cerciórense que las líneas paralelas donde los van a echar tengan una separación entre ellas mayor que la longitud de los cerillos. Ahora siéntensee a leer un verguero de cálculos. La prueba de Buffon implica cálculo integral; pero dado que muchos de ustedes dedicaron su prepa a fumar la droga, leer los evangelios y patear el balón, haremos una prueba un poco más intuitiva.

Consideren ustedes un cerillo de longitud arbitraria, el número de cruces C, está dado por

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Donde p1 es la probabilidad de que cruce una línea, p2 la probabilidad de que cruce dos, etc. Si se quieren poner de mamones diciendo: “lol, Vidal, pero ¿qué pasa si al caer coincide exactamente con una línea? Por cierto, vota por Margarita”, déjenme pararlos ahí mismo y comentarles que ese evento tiene probabilidad cero, por lo cual está incluido en nuestra fórmula.

Ahora, les pedí que los cerillos sean más cortos que la distancias entre líneas para que p2, p3, p4… se volvieran cero, ya que sí la longitud del cerillo es menor a dicha distancia, que cruce dos o más veces es imposible. Con esta consideración nuestra fórmula para C, el número de cruces, se vuelve

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Ahora, consideremos un punto arbitrario a lo largo del cerillo; denominemos a la longitud anterior a dicho punto por x y a la posterior por y, donde x y y suman la longitud del cerillo L, i.e. L=x+y

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Ahora, pensemos probabilísticamente y leamos C no como el número de cruces, sino como el número esperado de ellos, la diferencia conceptual es que ahora pensamos que la variable no está dada a priori y por ende es aleatoria. Sabemos que el valor esperado de cruces para todo el cerillo de longitud L, es igual al valor esperado para los cruces en x más el valor esperado para los cruces en y, esto es

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Siguiendo esta línea de pensamiento, si dividimos un L en n intervalos de longitud z llegamos a

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Esto implica dos cosas: resultado anterior se puede extender a cualquier número racional (fracción, pues) e indica que el número esperado de cruces es monótono en su argumento, es decir

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Donde k es alguna constante positiva, cuyo valor es C(1)=k. Estas consideraciones nos llevan a un resultado importante, podemos hacer el cálculo sin importar la forma del cerillo, ya que hemos demostrado que el valor esperado de cruces es aditivo y sólo depende de la longitud. Dicho de otro modo, debido a todas nuestras observaciones, el número esperado de cruces para un cerillo de longitud L con una forma arbitraria es

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Ahora hagamos algo muy útil para resolver un problema, usemos nuestro cerebro. Imaginemos que el cerillo es un círculo con diámetro d, donde d es la distancia entre las líneas; esto no afecta nada ya que nuestro cálculos son independientes de la forma del cerillo. Lo bonito de pensar en un círculo es que sabemos que en caso de cruzar una línea lo hace dos veces. Pero esto no es la razón por la cual elegimos la forma circular, lo que sucede es que todavía no hemos sido capaces de determinar k; pero aquí le vamos a pedir un paro a la simetría del círculo y sus propiedades asintóticas. Dicho en otras palabras, los círculos son la verga porque pueden pensarse como límites en el infinito de polígonos, sólo hay que verlos de la siguiente manera

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Si el polígono chico Qn intersecta una línea, entonces a huevo lo hace el círculo S. Si el círculo lo hace, entonces a huevo lo hace el polígono grande Pn, es decir

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Por nuestra argumentación anterior, sabemos que para cada polígono el valor esperado de cruces es “k por su longitud”, sabemos que para el círculo es 2,

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Y justo ahora se volverá evidente porqué tomamos un círculo. Si llevamos los polígonos a infinitos lados, ambos se volverán un círculo con longitud “Pi por diámetro”, escrito vergas es

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Con esto, la desigualdad que teníamos se vuelve

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Y dado que si algo es mayor igual a algo y menor igual a eso mismo, sólo le queda ser igual a eso mismo, podemos calcular el valor de la constante k *drops the mic*

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Y dado que sabíamos que sin importar la forma del cerillo, el valor esperado del número de cruces era C=kL, donde L era la longitud tenemos

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Por otra parte, el valor esperado es una probabilidad, la cuál siempre se puede ver como eventos favorables entre eventos totales. En éste caso el evento favorable es que cruce la línea

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Reuniendo todo, y percatándonos de que L es la longitud del cerillo y d es la distancia entre líneas podemos calcular Pi de la siguiente manera

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Y pues ya, vayan a socializar impresionando a la banda por doquier. Apuesten con el tío borracho, bailenle un tiro al de la tienda, tomen la bastilla. Pi está por doquier.

Estén al pendiente de futuras votaciones con el hashtag: #VotaMacizo, manden todas sus preguntas con #DudaMaciza.

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