{"id":24206,"date":"2017-06-26T17:12:57","date_gmt":"2017-06-26T22:12:57","guid":{"rendered":"http:\/\/nofm-radio.com\/?p=24206"},"modified":"2017-06-26T17:12:57","modified_gmt":"2017-06-26T22:12:57","slug":"fisicamaciza-13-geometria-no-conmutativa-ii","status":"publish","type":"archivo","link":"https:\/\/nofm-radio.com\/?archivo=fisicamaciza-13-geometria-no-conmutativa-ii","title":{"rendered":"#F\u00edsicaMaciza 13: Geometr\u00eda no-conmutativa II"},"content":{"rendered":"

por Diego Vidal-Cruzprieto<\/strong>
\n@vidaleando<\/a><\/p>\n

Los f\u00edsicos son un mont\u00f3n de fritos y raros a quienes es importante mantener.<\/em>
\nJes\u00fas Castrej\u00f3n.<\/p>\n

En la entrega anterior de la #F\u00edsicaMaciza<\/strong><\/a>\u00a0 trat\u00e9 de explicar por qu\u00e9 y c\u00f3mo cuantizar el espacio-tiempo, tambi\u00e9n mencion\u00e9 que Connes<\/strong> hizo una teor\u00eda muy bella pero muy complicada en la pr\u00e1ctica y que es por eso que decidimos tomar algunas ideas y hacer la nuestra. As\u00ed que ahora s\u00ed, se las dejo caer con detalle.<\/p>\n

\u00bfDe qu\u00e9 va la teor\u00eda?<\/strong><\/p>\n

Buscar una generalizaci\u00f3n cu\u00e1ntica de las ecuaciones de Einstein<\/strong>, para eso tambi\u00e9n debemos generalizar todo su marco de trabajo conceptual. Dicho en otras palabras debemos encontrar el an\u00e1logo cu\u00e1ntico a conceptos geom\u00e9tricos como distancia y curvatura.<\/p>\n

\u00bfPor qu\u00e9 generalizar a Einstein?<\/strong><\/p>\n

Porque sabemos que el mundo cl\u00e1sico es descrito muy bien por la teor\u00eda de Einstein<\/strong>, as\u00ed que si nuestra teor\u00eda tiene como un l\u00edmite la de Einstein, sabemos que vamos por buen camino.<\/p>\n

\u00bfY c\u00f3mo lo generalizas?<\/strong><\/p>\n

He ah\u00ed donde empieza el pedo. Hay muchas direcciones posibles, pero como dicen en la misa: si vas a volar el papalote, recuerda jalarle bien. Tomamos la idea de Connes (y otros) de hacer una descripci\u00f3n algebraica de la geometr\u00eda, esto resulta \u00fatil ya que el idioma natural de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica<\/strong> es el \u00e1lgebra<\/strong>.
\nAqu\u00ed me parece importante aclarar que cuando digo \u00e1lgebra no me estoy refiriendo a la que est\u00e1 en ese libro con el \u00e1rabe que los aterroriz\u00f3 por a\u00f1os:<\/p>\n

\"Baldor\"<\/a><\/p>\n

Me estoy refiriendo a un \u00e1rea de las matem\u00e1ticas que sigue en constante desarrollo, como la reforma agraria. Podemos codificar mucha informaci\u00f3n en un \u00e1lgebra, por ejemplo, las computadoras hacen uso del \u00e1lgebra booleana<\/strong>, la cual tiene dos elementos: verdadero y falso. Haciendo uso de compuertas l\u00f3gicas, se pueden codificar algoritmos en este bello sistemita y es as\u00ed que acaban viendo porno en el ba\u00f1o del Burger King<\/strong> mientras lloran.
\nPodemos codificar sentencias l\u00f3gicas en un \u00e1lgebra, esto es an\u00e1logo a codificar entidades geom\u00e9tricas en otro tipo de \u00e1lgebra. Nosotros lo hicimos en una que le turbo mama a los f\u00edsicos: un \u00e1lgebra de Lie<\/strong>. Les turbo mama porque en mec\u00e1nica cu\u00e1ntica<\/strong> todos los sistemas f\u00edsicos se pueden codificar en distintos tipos de \u00e1lgebras de Lie, en teor\u00eda cu\u00e1ntica de campos los grupos de simetr\u00eda de las teor\u00edas est\u00e1n dados en t\u00e9rminos de \u00e1lgebras de Lie, lo cual incide en cu\u00e1ntas y que tipo de part\u00edculas vemos.
\nPor el momento no sabemos si realmente sean el tipo de \u00e1lgebras correctas para usar, pero hay cierta evidencia que indica que vamos por buen camino. Ahora bien, la geometr\u00eda usual puede codificarse en un \u00e1lgebra de funciones<\/strong>, la cual es conmutativa; el \u00e1lgebra de Lie es no-conmutativa, por lo cual su geometr\u00eda asociada se le dice no-conmutativa.<\/p>\n

\"slow\"<\/a><\/p>\n

En un \u00e1lgebra siempre hay elementos y una operaci\u00f3n. Digamos que (^) denota la operaci\u00f3n, mientras que a y b son dos elementos. En un \u00e1lgebra conmutativa a^b es lo mismo que b^a, los n\u00fameros (esos que son rojos en tu cuenta bancaria) bajo suma o multiplicaci\u00f3n son un \u00e1lgebra conmutativa, por ejemplo. En un \u00e1lgebra no-conmutativa<\/strong>, a^b no es lo mismo que b^a. Las consecuencias geom\u00e9tricas de esto son las siguientes: en el caso conmutativo, recorrer el rect\u00e1ngulo del punto I al punto II puede hacerse tanto por la ruta alfa como por la beta teniendo el mismo resultado. En el caso no-conmutativo no sucede esto, hay una ligera diferencia que nosotros representamos como una brecha.
\n\"rectangulitos\"<\/a>
\nEsta brecha nos indica que hay que desprendernos de la noci\u00f3n de punto, \u00bfpor qu\u00e9? Por lo siguiente: tomar la ruta alfa me dice que acabo en el punto II versi\u00f3n alfa, mientras que si tomo la beta, acabo en el II versi\u00f3n beta. Calen el dibujito, ap\u00fantenle bien; podr\u00eda haber trazado una tercera ruta y acabar en otro lado, haciendo que el punto II no tenga sentido. Esto tambi\u00e9n se puede pensar para el punto I, y para todos los puntos intermedios; as\u00ed que: a la chingada los puntos.<\/p>\n

\"clarita\"<\/a><\/p>\n

Esto nos lleva a hacer geometr\u00eda sin puntos, lo cual a muchos les parece muy grave pero a mi no tanto. A mi modo de ver las cosas, la geometr\u00eda se puede entender como flujo de informaci\u00f3n<\/strong> a lo largo de un conjunto. Por ejemplo, tomen una naranja y p\u00f3ngale pelos. Los pelos se los deben imaginar no como la tar\u00e1ntula que traen abajo del cintur\u00f3n sino como pelos tangentes, as\u00ed:
\n\"naranja\"<\/a><\/p>\n

Un repasito de geometr\u00eda<\/strong><\/p>\n

La geometr\u00eda debe de ser una descripci\u00f3n de la naranja como un espacio. Si ya tenemos la noci\u00f3n de distancia, nos gustar\u00eda medir proporciones en la naranja, es decir, definir una trigonometr\u00eda<\/strong>; es por ello que necesitamos los pelos, pero d\u00e9jenme hacer un peque\u00f1o par\u00e9ntesis. Para hacer trigonometr\u00eda bien debemos saber la curvatura de la cosa que estamos estudiando, ya que varias nociones de geometr\u00eda plana no se trasladan del todo.
\n\u00bfRecuerdan la primaria? Ese bello lugar donde se comportaban est\u00fapidamente sin a\u00fan haberse drogado siquiera. A los maestros les mamaba repetir el mantra: la suma interna de los \u00e1ngulos un tri\u00e1ngulo es de 180\u00b0, el pedo es que como buenos pri\u00edstas, olvidaban mencionar que esto s\u00f3lo era en geometr\u00eda plana<\/strong>. Tomen su naranja, dibujen el ecuador, luego tracen una l\u00ednea del polo al ecuador y aseg\u00farense que corte a 90\u00b0. Giren un poquito la naranja y vuelvan a hacer esto. Ahora tienen un tri\u00e1ngulo de m\u00e1s de 180\u00b0, esto sucede porque en espacios curvos no se cumple la propiedad anterior, la suma tambi\u00e9n es un invariante pero ahora no es 180\u00b0.
\n\"triangulo\"<\/a>
\nY es por eso que nos importa un chingo la curvatura, lo cual nos regresa a los pelos. Si de un pelo al que sigue no vemos cambio alguno y esto sucede para una sucesi\u00f3n de ellos, podemos afirmar que el espacio<\/strong> es plano en la direcci\u00f3n que nos estamos moviendo. Si los pelos difieren entre s\u00ed, que tanto lo hacen da una noci\u00f3n de curvatura, aunque para la buena necesitamos poner a pasear un pelo en un circuito, pero no entrar\u00e9 en ello.
\nTeniendo curvatura y distancia podemos hacer una descripci\u00f3n casi entera de la geometr\u00eda de cualquier chingadera que nos venga en gana. Pero lo elemental para la curvatura fueron los pelos, as\u00ed que reformular\u00e9 la geometr\u00eda desde ah\u00ed. Nos importa que el pelo siempre sea tangente, por lo cual si lo trasladamos a otro sitio en la naranja debemos asegurarnos que siga siendo tangente.
\n\"conexion\"<\/a>
\nEl ejemplo de la izquierda es el verga, pues siempre es tangente y mantiene la orientaci\u00f3n del movimiento; el segundo es turbo pri\u00edsta, a tal grado que en cierto punto es perpendicular, lo cual es lo opuesto a tangente. El mecanismo que asegura que el traslado de pelos sea consistente y seguro se llama anticonceptivo<\/strong>, pero en el contexto matem\u00e1tico se llama la conexi\u00f3n<\/strong>.
\nEs por eso que se puede reformular toda la geometr\u00eda s\u00f3lo con distancia y pelos estudiando sus flujos en el espacio<\/strong>. Para estudiar flujos hay que hacer uso del c\u00e1lculo y de hecho, tuvimos que reformular \u00e9ste tambi\u00e9n en algo que se llama c\u00e1lculo diferencial universal<\/strong>.
\nPero esa la dejamos para la siguiente entrega.<\/p>\n","protected":false},"template":"","meta":{"_id_youtube":"","_id_vimeo":"","_podcasts_duration":"","_podcasts_url":"","_podcasts_show":"","_prog_horario_dias":"","_prog_hora":"","_prog_duration":""},"class_list":["post-24206","archivo","type-archivo","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/nofm-radio.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/archivo\/24206","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/nofm-radio.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/archivo"}],"about":[{"href":"https:\/\/nofm-radio.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/archivo"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/nofm-radio.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=24206"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}